¿Qué es el difuminado? Uso de tramado para eliminar la distorsión de cuantificación

A veces, el ruido electrónico puede ser una bendición disfrazada. En este artículo, veremos el "difuminado", que se refiere a una técnica en la que se agrega un componente de ruido apropiado a la señal para mejorar el rendimiento del sistema de conversión A/D (analógico a digital).

La mayoría de los EE están familiarizados con los métodos para limitar los niveles de ruido en los circuitos electrónicos. El filtrado es una técnica común que se puede aplicar para eliminar un componente de ruido o al menos limitar su ancho de banda. En ciertas aplicaciones, como auriculares con cancelación de ruido y amplificadores de bajo ruido (LNA) con cancelación de ruido, incluso podemos medir el componente de ruido dominante y restarlo de la salida del sistema para lograr el rendimiento deseado.

A pesar de estas aplicaciones, existen sistemas de conversión de analógico a digital en los que necesitamos ruido para mejorar el rendimiento del circuito. Esta técnica de procesamiento de señales, conocida como interpolación, agrega deliberadamente una señal de ruido con PDF (función de densidad de probabilidad) y PSD (densidad espectral de potencia) apropiados a la entrada del ADC (convertidor de analógico a digital) (antes del muestreo y la cuantificación) para mejorar ciertos aspectos de rendimiento del sistema. La figura 1 muestra el diagrama de bloques simplificado de un sistema difuminado (el diagrama representa un tipo de difuminado conocido como difuminado no sustractivo).

La primera vez que uno aprende sobre el tramado, puede resultar contradictorio que cierto nivel de ruido pueda ser realmente útil en ciertas situaciones. La técnica de tramado se puede aplicar para tres propósitos diferentes:

En este artículo, discutiremos cómo el tramado puede mejorar un cuantificador ideal al romper la correlación estadística entre el error de cuantificación y la señal de entrada, pero antes de eso, debemos repasar el ruido de cuantificación del ADC.

Un ADC representa un rango continuo de valores analógicos a través de varios niveles discretos, lo que inherentemente agrega un error conocido como error de cuantificación. Se han llevado a cabo importantes investigaciones para comprender completamente este error. La historia de la investigación en realidad se remonta a un artículo de 1948 de WR Bennett, "Spectra of Quantized Signals". Hoy en día, es ampliamente conocido que, bajo ciertas condiciones, el error de cuantificación se puede modelar como un ruido aditivo con una distribución uniforme entre \(\pm \frac{LSB}{2}\) LSB2 (LSB que denota el bit menos significativo de el convertidor).

Además, se supone que el ruido de cuantificación es ruido blanco (es decir, distribuido uniformemente sobre el ancho de banda de Nyquist dc a fs/2) con una potencia total igual a \(\frac{LSB^{2}}{12}\). La propiedad de espectro plano se basa en la suposición de que las muestras de error de cuantificación no están correlacionadas entre sí.

Nos referiremos a este modelo del error de cuantificación como el "modelo de ruido de cuantificación" a lo largo de este artículo. En breve discutiremos que el modelo de ruido de cuantificación no siempre es válido; sin embargo, todavía es lo suficientemente preciso para muchas aplicaciones prácticas. ¡El siguiente ejemplo muestra por qué los EE que trabajan con convertidores de datos adoran este modelo!

Consideremos una aplicación donde el voltaje de referencia del ADC es de 2 V. Suponga que la señal de entrada del ADC tiene un ruido de 1 mV RMS (raíz cuadrática media). Con un ADC de 10 bits, el LSB es \(\frac{2}{2^{10}}\) = 1,95 mV y, por lo tanto, el valor RMS del ruido es igual a 0,51 LSB.

Del modelo de ruido de cuantificación, sabemos que la operación de cuantificación agrega un ruido RMS de \(\frac{LSB}{\sqrt{12}}\) = 0.29 LSB.

Como puede ver, el ruido de cuantificación es comparable con el ruido original proveniente de la entrada. Para encontrar la potencia de ruido total del sistema, debemos sumar la potencia de las dos fuentes de ruido juntas:

\[P_{Ruido, \text{ }total}=P_{entrada}+P_{cuantificación}=(0,51 \text{ }LSB)^2+(0,29 \text{ }LSB)^2=0,34 \text{ } LSB^2\]

Tomando la raíz cuadrada de este valor, el RMS del ruido total es 0,59 LSB. Si este nivel de ruido no es aceptable para nuestra aplicación, podemos aumentar la resolución del ADC para reducir el ruido de cuantificación. Por ejemplo, con un ADC de 12 bits, el ruido de entrada es 2,05 LSB RMS. En comparación con el ruido de entrada, el ruido de cuantificación (0,29 LSB) ahora es casi insignificante. El RMS de ruido total es de 2,07 LSB para este ejemplo. Un sistema de 12 bits parece proporcionar suficiente resolución para esta aplicación.

Teniendo el ruido total presente en nuestra señal, podemos determinar la relación señal-ruido (SNR) en una aplicación de CA o la señal mínima detectable en una aplicación de medición. El punto importante aquí es que el modelo de ruido nos permite considerar fácilmente el efecto del proceso de cuantificación en el rendimiento de ruido del sistema.

Como nota al margen, vale la pena mencionar que la discusión anterior asume implícitamente que el ruido dominante agregado por el ADC es el ruido de cuantificación. Este no es siempre el caso. A medida que aumentamos la resolución del ADC, el ruido de cuantificación se vuelve cada vez más pequeño. En algún momento, el ruido de cuantificación se vuelve insignificante en comparación con el ruido electrónico dentro del ADC producido por el ruido térmico y el parpadeo del circuito interno del ADC. Este es el caso de los ADC ΔΣ (delta-sigma) de alta resolución actuales. Si el ruido de cuantificación es insignificante, se debe considerar el ruido de referencia de entrada de pico a pico del ADC para analizar el rendimiento del ruido del sistema.

Una implicación del modelo de ruido de cuantificación es que el error no está correlacionado con la entrada. Para entender mejor esto, considere las formas de onda en la Figura 2.

La curva de la izquierda en la figura anterior representa dos períodos de una onda sinusoidal cuantificada de 10 bits. La curva de la derecha muestra el error de cuantificación. En este ejemplo, la relación entre la frecuencia de muestreo y la frecuencia de entrada es 150. Puede confirmar mediante inspección visual que el error de cuantificación es periódico (el rectángulo naranja indica un período). Además, existe una correlación entre la entrada y la señal de error de cuantificación. A partir de esto, sabemos que el contenido de frecuencia de una señal periódica se concentra en múltiplos de la frecuencia fundamental de la señal. Esto significa que mientras el modelo de ruido de cuantificación espera que el error tenga un espectro de frecuencia plano, el error de cuantificación tiene algunos componentes de frecuencia fuertes.

Este es un problema general: si la entrada es una sinusoide y la frecuencia de muestreo es un múltiplo de la frecuencia de entrada, el error de cuantificación se correlaciona con la señal de entrada. Otro ejemplo se muestra en la Figura 3.

La curva de la izquierda muestra el espectro de un ADC de 12 bits ideal cuando la entrada es una sinusoide de 2 MHz y la frecuencia de muestreo es de 80 MSPS. La curva de la derecha muestra el espectro del mismo ADC para una sinusoide de 2,111 MHz muestreada a la misma frecuencia de muestreo. Como era de esperar, diferentes armónicos de la frecuencia de entrada se producen en la salida cuando la relación entre la frecuencia de muestreo y la frecuencia de entrada es un número entero. Para la curva de la izquierda, el rango dinámico libre de espurias (SFDR) del sistema es de solo 77 dBc. Cambiando ligeramente la frecuencia de entrada, los componentes armónicos desaparecen y obtenemos un ruido de fondo con aspecto de hierba.

Tenga en cuenta que el valor RMS del error de cuantificación es el mismo para ambos casos, lo que lleva a una SNR de 74 dBc (el valor teórico que puede obtener un ADC de 12 bits). Para ambos casos, el error RMS es consistente con el valor predicho por el modelo de ruido de cuantificación \((\frac{LSB}{\sqrt{12}})\); sin embargo, el espectro de frecuencia del error no es plano en el diagrama de la izquierda.

Los componentes armónicos anteriores son un artefacto del proceso de cuantificación y no están relacionados con el rendimiento del circuito ADC. Esto destaca una advertencia importante sobre las pruebas de ADC: el espectro que obtenemos para una prueba de transformada rápida de Fourier (FFT) de onda sinusoidal de un solo tono se verá afectado por los artefactos del proceso de cuantificación si la señal de entrada es un submúltiplo exacto de la frecuencia de muestreo.

Para resumir, si el error de cuantificación está correlacionado con la entrada, no podemos asumir que el ADC solo aumenta el ruido de fondo de la entrada. En este caso, el modelo de ruido de cuantificación ya no es válido y el proceso de cuantificación puede producir componentes armónicos significativos en el espectro de salida. Normalmente, preferimos que la energía de error se extienda por una amplia banda de frecuencias en lugar de concentrarse en algunas frecuencias específicas.

La cuantificación de señales de baja amplitud también puede dar lugar a una correlación entre el error de cuantificación y la entrada. Un ejemplo de aplicación donde las señales de baja amplitud pueden ser un problema son los sistemas de audio digital. Suponga que la amplitud de la entrada del ADC cae a 0,75 LSB, como se muestra en la Figura 4.

Como puede ver, la señal cuantificada toma solo tres valores diferentes y tiene una forma de onda cuadrada. Sabemos que el espectro de una onda cuadrada contiene diferentes armónicos de la frecuencia fundamental. En el ejemplo anterior, la entrada es una sinusoide de 1,11 kHz y la frecuencia de muestreo es de 400 kHz (elegida deliberadamente para que sea mucho más alta que la requerida por el teorema de muestreo de Nyquist). La FFT de la salida se muestra en la Figura 5.

Aunque la frecuencia de entrada (1,11 kHz) no es un submúltiplo de la frecuencia de muestreo (400 kHz), el espectro contiene importantes componentes armónicos. Estos armónicos son más fáciles de discernir en la versión ampliada del espectro proporcionado en la Figura 6.

Para examinar la técnica de tramado, agregamos ruido con distribución triangular a la señal anterior y luego la cuantificamos. El ancho de la pdf de tramado triangular (función de densidad de probabilidad) se toma como 2 LSB. Las formas de onda se muestran en la Figura 7.

En el dominio del tiempo, parece que la información se pierde, pero ¿qué pasa con el dominio de la frecuencia? El espectro de la nueva señal cuantificada (curva roja arriba) se muestra en la Figura 8.

El tramado elimina los componentes armónicos. De hecho, la energía de los componentes armónicos se distribuye en una amplia banda de frecuencias. Como resultado, esperamos que el ruido de fondo suba ligeramente cuando aplicamos la técnica de tramado. Además de este efecto, el ruido dither añadido a la entrada también contribuye al aumento del ruido de fondo.

El ejemplo anterior muestra claramente la ventaja de dithering en aplicaciones de análisis espectral. Sin embargo, es interesante notar que incluso sin transformar la señal al dominio de la frecuencia, podemos beneficiarnos del tramado. Por ejemplo, en el audio digital, el aumento del ruido de fondo sin características (debido al difuminado) es mucho más aceptable desde el punto de vista de la percepción que los armónicos artificiales introducidos por el cuantificador.

Una implicación del modelo de ruido de cuantificación es que el error de cuantificación no está correlacionado con la entrada. Cuando este no es el caso, la operación de cuantificación introduce un tipo de distorsión a la que a veces se hace referencia como "distorsión de cuantificación". Al agregar el ruido dither, se elimina la correlación entre el error de cuantificación y la entrada. En consecuencia, esto elimina los componentes armónicos producidos por la operación de cuantificación. De esta forma, el tramado puede mejorar el rendimiento de un cuantificador ideal. Como se mencionó anteriormente, el tramado también se aplica para otros fines. En el próximo artículo de esta serie, profundizaremos más en esta discusión.

Como nota final, vale la pena mencionar que en la mayoría de los sistemas, la señal de entrada tiene suficiente ruido, por lo que no es necesario agregar ruido adicional para romper la correlación entre el ruido de cuantificación y la entrada. Además, el ruido referido a la entrada del ADC podría ser suficiente para producir el mismo efecto de oscilación.

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